Análisis 1.- Límites de una función en un punto

 Límite en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x₀, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x₀. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x₀.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto x₀ = 2.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
...	...
↓	↓
2	4

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
...	...
↓	↓
2	4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x₀, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x₀ que cumplen la condición|x − x₀| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

 si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x₀,E_δ(x₀), cuyos elementos (sin contar x₀), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, E_ε(L).