2. Álgebra de matrices
2.1. Nomenclatura. Definiciones.
Las matrices son cajas rectangulares formadas por filas y columnas. (n x m)
Matriz cuadrada: tiene igual número de filas y columnas, (n = m).
Matriz traspuesta: Cambio de filas por columnas.
Matriz simétrica: cuando la matriz es igual a su traspuesta (A = A^t)
Matriz triangular: matriz cuadrada con todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal 0.
Diagonal principal y diagonal secundaria:
2.2 Operaciones con matrices.
Suma de matrices:
Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan la misma dimensión,y se suma término a término.
Producto de un número por una matriz:
Se multiplica por el número cada término de la matriz.
Producto de matrices:
Para que dos matrices puedan multiplicarse tiene que cumplirse que el número de filas de la primera coincida con el número de columnas de la segunda. La matriz producto tendrá el número de filas de la segunda y el número de columnas de la primera. Ésta se obtiene multiplicando cada fila de la primera por cada columna de la segunda matriz.
2.3. Propiedades de las operaciones con matrices.
Propiedades de la suma de matrices
1. Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
2. Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
3. Elemento neutro
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
4. Elemento opuesto
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
5. Conmutativa
A + B = B + A
Propiedades del producto de matrices
1 Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
2 Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
3 Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
4 No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
2.4. Matrices cuadradas
Matriz identidad: Matriz compuesta por 1 en la diagonal principal y el resto 0.
Matriz inversa de otra:
Inversa de una matriz por el método de Gauss.
2.4. Rango de una matriz
El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes, es decir aquellas que no se puedan expresar como combinación lineal de otras.
Obtención del rango por Gauss:
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