Álgebra 3.- Determinantes

ÁLGEBRA 

3. Determinantes

3.1 Determinantes de orden dos.

El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es un número que se obtiene al multiplicar los componentes de la diagonal principal y restarlo al producto de los componentes de la siguiente manera:



- Propiedades de los determinantes de orden dos

1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.



2. Si un determinante tiene una fila o columna de ceros, su determinante es cero.

3. Si permutamos (cambiamos de orden) las dos filas o columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

4. Si una matriz 2x2 tiene sus filas o columnas iguales, su determinante es cero.

5. Si multiplicamos cada elemento de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de esa matriz queda multiplicado por ese número.



6. Si una matriz tiene sus dos filas o columnas proporcionales, su determinante es cero.

7. Si una fila o columna de una matriz es suma de dos, su determinante puede descomponerse en suma de los determinantes de dos matrices.




8. Si una fila o columna de una matriz se le suma la otra fila o columna multiplica por un número, el determinante de la nueva matriz es igual al de la primera.

9. El determinante de un producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes.
|AxB| = |A| x |B|



3.2. Determinantes de orden tres



- Cálculo de determinantes mediante la regla de Sarrus

- Propiedades

1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.

2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, su determinante es cero.

3. Si permutamos dos filas o columnas su determinante cambia de signo.

4. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales su determinante es cero.

5. Si multiplicamos por un número todos los elementos de una linea de una matriz cuadrada, su determinante queda también multiplicado por ese número.

6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es cero.

7. Si a una línea de una matriz le sumamos combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía.

8. Si una matriz tiene una fila o columna que es combinación lineal de las demás, su determinante es cero.

9. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes.
 |AxB| = |A| x |B|

3.3 Menor complemento y adjunto.

- "Menor" de una matriz
Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial.



- "Menor complementario" y "adjunto" de un elemento en una matriz cuadrada
Si en una matriz cuadrada nxn destacamos un elemento, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz. Su determinante es un menor que se llama menor complementario del elemento elegido y se designa con la letra alfa.

Adjunto:




3.4. Determinante por adjuntos



Aquí os dejo un vídeo para que lo entendáis mejor:

3.5 El rango de una matriz a partir de sus adjuntos